Niveau légal, tu as un mois de préavis (ou plus en fonction de la durée de ta période d'essaie) puisque si j'ai bien compris tu as moins de 3 ans d'ancienneté et un préavis ne peut pas se faire pendant un arrêt maladie.
Dans la réalité :D , comme tu es en arrêt depuis 6 mois, je pense que ton employeur actuel ne compte pas vraiment sur un retour dans l'immédiat et il a donc surement pris des dispositions pour te remplacer pendant ton arrêt. Et donc une démission à effet immédiate ne sera pas forcement préjudiciable pour lui, voir même plus avantageux car au bout d'1 an d'ancienneté tu as droit à un complément de salaire de l'employeur.
Le mieux serait à mon avis, que tu ailles voir ton DRH pour lui dire que voilà, tu vois bien que ton arrêt se prolonge et que tu aimerais démissionner (pas forcement besoin de lui dire que tu as trouvé ailleurs, après ça dépend tes rapports avec ta hiérarchie). et tu négocies avec eux, soit une démission à effet immédiate, soit à la date où tu prévois de commencer ton nouvel emploi.
Sachant que si tu démissionnes tu n'auras pas le droit au chômage mais tu pourras encore bénéficier des indemnités de la sécu si ton arrêt se prolonge.