Dans l'administration l'arrêté vaut contrat, donc tu t'es engagée pour 6 mois.
Le passage par un centre de gestion n'est pas du tout obligatoire, il faut y être affilié et ça coûte cher, toutes les communes ne le sont pas. Quand on est affilié on a normalement l'obligation de communiquer les postes vacants. Ca c'est la théorie. En pratique on ne le fait que si on ne trouve personne, surtout pour un remplacement ! ;)
Tu peux toujours mettre fin à ton contrat, mais normalement tu n'auras pas droit aux allocations chômage (comme tu le dis, tu ne cotises plus aux Assedics, c'est la collectivité qui doit te prendre en charge, mais je ne crois pas qu'elle le fasse si tu démissionnes. Vois toutefois avec les Assedic parce que parfois ils reprennent une certaine durée, surtout que tu es en temps partiel, je ne suis pas une spécialiste de la rémunération).
Pour le préavis, je crois bien qu'il n'y a pas de durée précise si tu n'as pas travaillé au moins 6 mois (dans ce cas là c'est 8 jours de préavis). Donc il faut savoir ce qu'exige ton employeur.
Sinon je comprends bien ton souci, mais 15 h par semaine, pendant encore 4 mois, tu n'y arriverais vraiment pas ?